解答题
设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f″(x)≠0．证明：
问答题
18.对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得
f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]
f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]
【正确答案】对任意x∈(－1，1)，根据微分中值定理，得
f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．
因为f″(x)∈C(－1，1)且f″(x)≠0，所以f″(x)在(－1，1)内保号，不妨设f″(x)＞0，则f′(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．
f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．
因为f″(x)∈C(－1，1)且f″(x)≠0，所以f″(x)在(－1，1)内保号，不妨设f″(x)＞0，则f′(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．
【答案解析】
问答题
19.
【正确答案】由泰勒公式，得
f(x)=f(0)+f′(0)x+
，其中ξ介于0与x之间，
而f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]，所以有
f′[θ(x)x]=f′(0)+
，
令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得
f(x)=f(0)+f′(0)x+
，其中ξ介于0与x之间，而f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]，所以有
f′[θ(x)x]=f′(0)+
，令x→0，再由二阶导数的连续性及非零性，得
【答案解析】