解答题
29.[2001年] 设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z=h(t)一2(x2+y2)／h(t)(设长度单位为厘米，时间单位为小时)．已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?
【正确答案】(1)设t时刻雪堆体积为V(t)，侧面面积为A(t)，先求出A(t)，V(t)．
所求时间只能由h(t)=0求得．为此需建立h(t)所满足的方程，而这可由题设体积减少的速度与侧面积成正比得到，因而还需先求出体积V(t)与侧面面积A(t)的表达式．在t时刻雪堆的形状如图所示，已知侧面方程，即已知曲面∑的方程为
z=h(t)一2(x2+y2)／h(t)，
则
设雪堆的侧面为∑，其面积为A，则∑在xOy平面上的投影区域
为Dxy={(x，y)｜x2+y2≤h2(t)／2，z=0}，则
因已知截面方程D(z)：x2+y2≤[h2(t)一h(t)z]／2，注意到D(z)的面积S(D(z))=π[h2(t)一zh(t)]／2，得到
用“先二后一”的方法得到
V(t)=∫0h(t)dz
dxdy=∫0h(t)S(D(t))dz∫0h(t)
[h2(t)一zh(t)]dz
=(π／2)[h3(t)一h3(t)／2]=(π／4)h3(t)．
(2)按题意列出微分方程，写出初始条件．
因体积减少的速度是
，它与侧面积A(t)成正比(比例系数为0．9)，即
将A(t)及V(t)的表达式代入，得到
即 
所求时间只能由h(t)=0求得．为此需建立h(t)所满足的方程，而这可由题设体积减少的速度与侧面积成正比得到，因而还需先求出体积V(t)与侧面面积A(t)的表达式．在t时刻雪堆的形状如图所示，已知侧面方程，即已知曲面∑的方程为
z=h(t)一2(x2+y2)／h(t)，
则
设雪堆的侧面为∑，其面积为A，则∑在xOy平面上的投影区域
为Dxy={(x，y)｜x2+y2≤h2(t)／2，z=0}，则
因已知截面方程D(z)：x2+y2≤[h2(t)一h(t)z]／2，注意到D(z)的面积S(D(z))=π[h2(t)一zh(t)]／2，得到
用“先二后一”的方法得到
V(t)=∫0h(t)dz
dxdy=∫0h(t)S(D(t))dz∫0h(t)[h2(t)一zh(t)]dz=(π／2)[h3(t)一h3(t)／2]=(π／4)h3(t)．
(2)按题意列出微分方程，写出初始条件．
因体积减少的速度是
，它与侧面积A(t)成正比(比例系数为0．9)，即将A(t)及V(t)的表达式代入，得到 即 【答案解析】