解答题
19.[2015年] 已知曲线L的方程为
起点为
，终点为
起点为，终点为
【正确答案】先将曲线L的直角坐标方程化为参数方程．令x=cosθ，
，则z=x=cosθ．
将起点A的坐标代入，得到
，sinθ=1，故
．将终点B的坐标代入，得到
，sinθ=一1，故
．于是θ从
变化到
，将曲线方程z=x代入被积函数，且利用对称性、奇偶性得到
I=∫L(y+z)dx+(z2一x2+y)dy+(x2y2)dz
=∫L(y+z)dx+ydy+(x2y2)dz
，则z=x=cosθ．将起点A的坐标代入，得到
，sinθ=1，故．将终点B的坐标代入，得到，sinθ=一1，故．于是θ从变化到，将曲线方程z=x代入被积函数，且利用对称性、奇偶性得到I=∫L(y+z)dx+(z2一x2+y)dy+(x2y2)dz
=∫L(y+z)dx+ydy+(x2y2)dz
【答案解析】