问答题
设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，
．证明：存在ξ∈(0，
)，η∈(
．证明：存在ξ∈(0，)，η∈(
【正确答案】要证明结论f'(ξ)+f'(η)=ξ+η2成立，即要证
f'(ξ)-ξ2=η2-f'(η)成立．
可设F(x)=f(x)-
x3，G(x)=x3-f(x)，则只要证F'(ξ)=G'(η)成立即可． 易知F(x)、G(x) 都满足拉格朗日中值定理的条件，所以对F(x)在[0，]上、G(x)在[，1]分别使用拉格朗日中值定理．
即
ξ∈(0，)，使得F()-F(0)=F'(ξ)；
∈(，1)，使得G(1)-G()=G'(η)．
由f(0)=0，f(1)=可得
f'(ξ)-ξ2=η2-f'(η)成立．
可设F(x)=f(x)-
x3，G(x)=x3-f(x)，则只要证F'(ξ)=G'(η)成立即可． 易知F(x)、G(x) 都满足拉格朗日中值定理的条件，所以对F(x)在[0，]上、G(x)在[，1]分别使用拉格朗日中值定理．即
ξ∈(0，)，使得F()-F(0)=F'(ξ)；∈(，1)，使得G(1)-G()=G'(η)．由f(0)=0，f(1)=
可得【答案解析】