问答题
求二元函数z(x，y)=x
2
+48xy+32y
2
在区域D={(x，y)|x
2
+4y
2
≤25}上的最大值与最小值．
【正确答案】
【答案解析】[解] 首先求函数z(x，y)在区域D内的驻点及驻点处的函数值．令
可得z(x，y)在区域D内有唯一驻点(0，0)，且在驻点处z(0，0)=0．
其次，求函数z(x，y)在区域D的边界x 2 +4y 2 =25即x 2 +4y 2 -25=0上的最大值与最小值．可用拉格朗日乘数法求解，为此引入拉格朗日函数F(x，y，λ)=x 2 +48xy+32y 2 +λ(x 2 +4y 2 -25)，并求它的驻点，即求如下方程绢的非零解：
由代数知识可得方程组(1)与(2)存在非零解的充分必要条件是系数行列式
即λ
2
+9λ-136=0．
解出可得λ 1 =8，λ 2 =-17．对应于λ 1 =8方程(1)与方程(2)变成3x+8y=0，把它代入方程(3)可解出两个驻点
与
．
对应于λ 2 =-17方程(1)与方程(2)变成2x-3y=0，把它代入方程(3)可解出两个驻点P 3 (3，2)与P 4 (-3，-2)．
计算函数z(x，y)在区域D的边界上四个驻点处的函数值可得：
可得z(x，y)在区域D内有唯一驻点(0，0)，且在驻点处z(0，0)=0．
其次，求函数z(x，y)在区域D的边界x 2 +4y 2 =25即x 2 +4y 2 -25=0上的最大值与最小值．可用拉格朗日乘数法求解，为此引入拉格朗日函数F(x，y，λ)=x 2 +48xy+32y 2 +λ(x 2 +4y 2 -25)，并求它的驻点，即求如下方程绢的非零解：
由代数知识可得方程组(1)与(2)存在非零解的充分必要条件是系数行列式
即λ
2
+9λ-136=0．
解出可得λ 1 =8，λ 2 =-17．对应于λ 1 =8方程(1)与方程(2)变成3x+8y=0，把它代入方程(3)可解出两个驻点
与
．
对应于λ 2 =-17方程(1)与方程(2)变成2x-3y=0，把它代入方程(3)可解出两个驻点P 3 (3，2)与P 4 (-3，-2)．
计算函数z(x，y)在区域D的边界上四个驻点处的函数值可得：