单选题
椭圆
如图1所示，以点B
1
为圆心，椭圆的半长轴为半径画圆弧，交A
1
A
2
于点C
1
和C
2
，P为椭圆上的一点，若△PC
1
C
2
的面积为9，则△PC
1
C
2
的内切圆的面积为______．
图1
A．2π
B．
C．π
D．
如图1所示，以点B
1
为圆心，椭圆的半长轴为半径画圆弧，交A
1
A
2
于点C
1
和C
2
，P为椭圆上的一点，若△PC
1
C
2
的面积为9，则△PC
1
C
2
的内切圆的面积为______．
图1
A．2π
B．
C．π
D．
【正确答案】
C
【答案解析】[解析] 本题主要考查了椭圆的基本关系，考查了余弦定理和平面图形的面积公式．是一道综合题．
依题意，得
，即OC
1
=OC
2
=4，所以C
1
，C
2
是椭圆的两个焦点．根据余弦定理，得
又(PC
1
+PC
2
)
2
=10
2
=100，所以
PC 1 ·PC 2 (1+cos∠P)=18．
又因为
，所以sin∠P-cos∠P=1，即
．故
．设内切圆的半径为r，由图2可知△PC
1
C
2
的面积等于一个正方形加上两对相等的直角三角形，故
S △PC1C2 =r 2 +r(PC 2 -r)+r(PC 1 -r)=10r-r 2 ．
依题意知10r-r 2 =9，即r 2 -10r+9=0．解得．r=1，r=9(舍去)．
所以△PC 1 C 2 的内切圆的面积为π．
依题意，得
，即OC
1
=OC
2
=4，所以C
1
，C
2
是椭圆的两个焦点．根据余弦定理，得
又(PC
1
+PC
2
)
2
=10
2
=100，所以
PC 1 ·PC 2 (1+cos∠P)=18．
又因为
，所以sin∠P-cos∠P=1，即
．故
．设内切圆的半径为r，由图2可知△PC
1
C
2
的面积等于一个正方形加上两对相等的直角三角形，故
S △PC1C2 =r 2 +r(PC 2 -r)+r(PC 1 -r)=10r-r 2 ．
依题意知10r-r 2 =9，即r 2 -10r+9=0．解得．r=1，r=9(舍去)．
所以△PC 1 C 2 的内切圆的面积为π．