解答题
18.已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y''+py'+gy=f(x)的三个特解．
(I)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y'(0)=0的特解，求∫0+∞y(x)dx．
(I)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y'(0)=0的特解，求∫0+∞y(x)dx．
【正确答案】(I)由线性方程解的叠加原理→
y1(x)=y3*(x)一y2*(x)=e-2x，y2(x)=y3*(x)一y1*(x)=xe-2x
均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根λ=一2相应的特征方程为
(λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．
原方程为 y''+4y'+4y=f(x)． ①
由于y*(x)=xe-x是它的特解，求导得
y*'(x)=e-x(1一x)， yx''(x)=e-x(x一2)．
代入方程①得e-x(x一2)+4e-x(1一x)+4xe-x=f(x)
→ f(x)=(x+2)e-x
→原方程为y''+4y'+4y=(x+2)e-x，其通解为
y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中C1，C2为
常数．
(Ⅱ)
C1，C2，方程的
解y(x)均有
不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得
y1(x)=y3*(x)一y2*(x)=e-2x，y2(x)=y3*(x)一y1*(x)=xe-2x
均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根λ=一2相应的特征方程为
(λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．
原方程为 y''+4y'+4y=f(x)． ①
由于y*(x)=xe-x是它的特解，求导得
y*'(x)=e-x(1一x)， yx''(x)=e-x(x一2)．
代入方程①得e-x(x一2)+4e-x(1一x)+4xe-x=f(x)
→ f(x)=(x+2)e-x
→原方程为y''+4y'+4y=(x+2)e-x，其通解为
y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中C1，C2为
常数．(Ⅱ)
C1，C2，方程的解y(x)均有不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得
【答案解析】