设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f'(x)＜1(x∈(0，1))，求证：
[∫
0
1
f(x)dx]
2
＞∫
0
1
f
3
(x)dx．
【正确答案】正确答案：即证[∫
0
1
f(x)dx]
2
一∫
0
1
f
3
(x)dx＞0．考察F(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
—∫
0
x
f
3
(t)dt， 若能证明F(x)＞0(x∈(0，1])即可．这可用单调性方法． 令F(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
一∫
0
x
f
3
(t)dt，易知F(x)在[0，1]可导，且 F(0)=0，F'(x)=f(x)[2∫
0
x
f(t)dt一f
2
(x)]． 由题设知f(x)在[0，1]单调上升，故f(x)＞f(0)=0(x∈(0，1])，从而F'(x)与g(x)=2∫
0
x
f(t)dt一f
2
(x)同号．计算可得 g'(x)=2f(x)[1一f'(x)]＞0(x∈(0，1))， 结合g(x)在[0，1]连续，于是g(x)在[0，1]单调上升，故g(x)＞g(0)=0(x∈(0，1])，也就有F'(x)＞0(x∈(0，1])，即F(x)在[0，1]单调上升，F(x)＞F(0)=0(x∈(0，1])．因此 F(1)=[∫
0
1
f(x)dx]
2
一∫
0
1
f
3
(x)dx＞0．
【答案解析】