【正确答案】正确答案：(1)A的特征多项式为 ｜A－λ｜＝ ＝(λ－1)(λ－5) 解得A的特征值为λ ₁ ＝1，λ ₂ ＝5． 对于λ ₁ ＝1，解方程(A－E)χ＝0，得单位特征向量 ． 对于λ ₂ ＝5，解方程(A－5E)χ＝0，得单位特征向量 ． 于是有正交矩阵P＝ ，使得P ^-1 AP＝diag(1，5)＝∧，从而A＝PAP ^-1 ，A ^k ＝PA ^k P ^-1 ．因此 φ(A)＝Pφ(∧)P ^-1 ＝P(∧ ¹⁰ －5∧ ⁹ )P ^-1 ＝P[diag(1，5 ¹⁰ )－5diag(1，5 ⁹ )]P ^-1 ＝Pdiag(－4，0)P ^-1 (2)A的特征多项式为 ｜A－λE｜＝ ＝(1－λ)(1＋λ)(λ－5)， A的特征值为λ ₁ ＝－1，λ ₂ ＝1，λ ₃ ＝5． 对于λ ₁ ＝－1，解方程(A＋E)χ＝0，得单位特征向量 对于λ ₂ ＝1，解方程(A－E)χ＝0，得单位特征向量 对于λ ₃ ＝5，解方程(A－E)χ＝0，得单位特征向量 于是有正交矩阵 使得P ^-1 AP＝diag(－1，1，5)＝∧，A＝P∧P ^-1 ．因此