问答题
设n阶矩阵A的秩为1，证明：
问答题
A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积；
【正确答案】
【答案解析】【证】将A以列分块，则r(A)=r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=1表明列向量组α
1
，α
2
，…，α
n
的极大线性无关组由一个非零向量组成，设为α
i
=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
(α
i
≠0)，其余列向量均可由α
i
线性表出，设为α
j
=b
j
α
i
，(j=1，2，…，n；j=i时，取b
i
=1)，则
问答题
存在数μ，对任意正整数k，有A
k
=μ
k-1
A．
【正确答案】
【答案解析】【证】记α=α
i
=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
，β=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
，则
A=αβ T ，A k =(αβ T ) k =(αβ T )(αβ T )…(αβ T )=α(β T α)(β T α)…(β T α)β T 记β T α=a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n =μ，则
A k =αμ k-1 β T =μ k-1 A．
A=αβ T ，A k =(αβ T ) k =(αβ T )(αβ T )…(αβ T )=α(β T α)(β T α)…(β T α)β T 记β T α=a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n =μ，则
A k =αμ k-1 β T =μ k-1 A．