解答题
2.设函数f(x)在[a，b]上有三阶连续导数。
(Ⅰ)写出f(x)在[a，b]上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式；
(Ⅱ)证明存在一点η∈(a，b)，使得
(Ⅰ)写出f(x)在[a，b]上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式；
(Ⅱ)证明存在一点η∈(a，b)，使得
【正确答案】(Ⅰ)任意给定x0∈(a，b)，对任意x∈[a，b]，则f(x)在[a，b]上带有拉格朗日余项的二阶泰勒公式
(Ⅱ)把f(b)与f(a)分别在点
处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，
将上面两式相减可得
由于f’’’(x)在[a，b]上连续，则根据连续函数的介值定理知，存在
，使得
将其代入f(b)-f(a)的表达式，即存在一点η∈(a，b)使得
(Ⅱ)把f(b)与f(a)分别在点
处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，将上面两式相减可得
由于f’’’(x)在[a，b]上连续，则根据连续函数的介值定理知，存在
，使得将其代入f(b)-f(a)的表达式，即存在一点η∈(a，b)使得
【答案解析】