设f(x)在[0，1]上可导，∫
0
1
f(x)dx=∫
0
1
xf(x)dx=0，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=0．
【正确答案】正确答案：作辅助函数F(x)=∫
0
x
f(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，又0=∫
0
1
xf(x)dx=∫
0
1
xdF(x)=xF(x)｜
0
1
—∫
0
1
F(x)dx=0，由积分中值定理，存在点η∈(0，1)，使得F(η)=0．于是，在[0，η]和[η，1]上分别对F(x)应用洛尔定理，存在点ξ
1
∈(0，η)，ξ
2
∈(η，1)，使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0． 在[ξ
1
，ξ
2
]上对f(x)再应用洛尔定理，存在点ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)
【答案解析】