问答题
设f(x)在(0，+∞)内二阶可导，在[0，+∞)有连续的导数，且f″(x)＞0(x＞0)，求证：F(x)
【正确答案】[分析与证明]由题设条件可求得
下证F″(x)＞0(x＞0). 由
，有
g′(x)=x2f″(x)+2xf′(x)-2xf′(x)-2f(x)+2f(x)=x2f″(x)，
由于f″(x)＞0(x＞0)
g′(x)＞0(x＞0). 又g(x)在[0，+∞)连续g(x)在[0，+∞)
单调增加
g(x)＞g(0)=0(x＞0)
下证F″(x)＞0(x＞0). 由
，有g′(x)=x2f″(x)+2xf′(x)-2xf′(x)-2f(x)+2f(x)=x2f″(x)，
由于f″(x)＞0(x＞0)
g′(x)＞0(x＞0). 又g(x)在[0，+∞)连续g(x)在[0，+∞)单调增加
g(x)＞g(0)=0(x＞0)
【答案解析】