问答题
求∫
L
(y
2
-z
2
)dx+(z
2
-x
2
)dy+(x
2
-y
2
)dz，其中L为球面x
2
+y
2
+z
2
=1在第1象限部分的边界线．从球心看L，L为逆时针．
【正确答案】
【答案解析】[解] 方法一 参数式法，将L分成3段．在xOy平面上的一段记为L
1
，参数式为x=cost，y=sint，z=0，从
到t=0．于是
其他两段计算类似，于是
方法二 用斯托克斯公式，取曲面S：x 2 +y 2 +z 2 =1，x≥0，y≥0，z≥0，法向量指向原点．于是
取
计算之．S在xOy平面上的投影为
D xy ={(x，y)|x 2 +y 2 ≤1，x≥0，y≥0}．
于是
其他两个类似，从而
到t=0．于是
其他两段计算类似，于是
方法二 用斯托克斯公式，取曲面S：x 2 +y 2 +z 2 =1，x≥0，y≥0，z≥0，法向量指向原点．于是
取
计算之．S在xOy平面上的投影为
D xy ={(x，y)|x 2 +y 2 ≤1，x≥0，y≥0}．
于是
其他两个类似，从而