解答题
20.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,其中0<a<b,试证至少存在一点ξ∈(a,b),使得 alnb-blna=(ab
2
-ba
2
)
【正确答案】
等式可改写成
作辅助函数f(x)=
,则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理知,存
在ξ∈(a,b),使得
亦即 alnb-blna=(ab
2
一ba
2
)
【答案解析】
待证的中值等式中含有af(b)一bf(a)这样的项,为找出辅助函数,常先用ab去除等式两端,从而找出两函数值的差.该函数就是要找的辅助函数.本例用ab去除等式两端即得
于是辅助函数F(x)=
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