设f
n
(χ)＝C
n
1
cosχ－C
n
2
cos
2
χ＋…＋(－1)
n-1
C
n
n
cos
n
χ，证明：对任意自然数n，方程f
n
(χ)＝
在区间(0，
在区间(0，
【正确答案】正确答案：由f
n
(χ)＝C
n
1
cosχ－C
n
2
cos
2
＋…＋(－1)
n-1
cos
n
χ得 f
n
(χ)＝1－(1－cosχ)
n
， 令g(χ)＝f
n
(χ)－
－(1－cosχ)
n
，
由零点定理，存在c∈(0，
)，使得g(c)＝0， 即方程f
n
(χ)＝
在(0，
)内至少要有一个根． 因为g′(χ)＝－n(1－cosχ)
n-1
.sinχ＜0(0＜χ＜
)， 所以g(χ)在(0，
)内有唯一的零点，从而方程f
n
(χ)＝
在(0，
－(1－cosχ)
n
，
由零点定理，存在c∈(0，
)，使得g(c)＝0， 即方程f
n
(χ)＝
在(0，
)内至少要有一个根． 因为g′(χ)＝－n(1－cosχ)
n-1
.sinχ＜0(0＜χ＜
)， 所以g(χ)在(0，
)内有唯一的零点，从而方程f
n
(χ)＝
在(0，
【答案解析】