问答题
设常数(a＞0，函数g(x)在区间[－a，a]上存在二阶导数，且g''(x)＞0．
问答题
令h(x)=g(x)+g(－x)，证明在区间[0，a]上h'(x)≥0，当且仅当x=0时h'(x)=0；
【正确答案】正确答案：h'(x)=g'(x)－g'(－x)，h'(0)=0，h''(x)=g''(x)+g''(－x)＞0，由拉格朗日中值定理，有 h'(x)=h'(0)+h''(ξ)(x－0)=h''(ξ)x＞0(x＞0)．
【答案解析】
问答题
证明2a∫
－a
a
g(x)e
－x2
dx≤∫
－a
a
g(x)dx∫
－a
a
e
－x2
dx．
【正确答案】正确答案：因为当0≤x≤a时h'(x)≥0，h(x)单调增加；f(x)=e
－x2
在0≤x≤a时单调减少，所以不论0≤x≤y≤a还是0≤y≤x≤a，均有 [h(x)－h(x)](e
－x2
－e
－y2
)≤0， 即只要(x，y)∈D={(x，y)｜0≤x≤a，0≤y≤a}，有 h(x)e
－x2
+h(y)e
－y2
≤h(x)e
－y2
+h(y)e
－x2
． 于是有
2∫
0
a
dy∫
0
a
h(x)e
－x2
dx≤2∫
0
a
e
－y2
dy∫
0
a
h(x)dx， 2a∫
0
a
h(x)e
－x2
dx≤2∫
0
a
e
－y2
dy∫
0
a
h(x)dx． 又因为h(x)与e
－x2
都是偶函数，所以 a∫
－a
a
h(x)e
－x2
dx≤
2∫
0
a
dy∫
0
a
h(x)e
－x2
dx≤2∫
0
a
e
－y2
dy∫
0
a
h(x)dx， 2a∫
0
a
h(x)e
－x2
dx≤2∫
0
a
e
－y2
dy∫
0
a
h(x)dx． 又因为h(x)与e
－x2
都是偶函数，所以 a∫
－a
a
h(x)e
－x2
dx≤
【答案解析】