解答题
8.设f(x)在(x0-δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(0)=0，k=2，3，…，n-1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)=f(x0)=hf'(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：
【正确答案】这里m=1，求的是f(x0+h)-f(x0)=hf'(x0+θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f'(x0+θh)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得
f'(x0+θh)=f'(x0)+f''(x0)θh+
f(3)(x0)(θh)2+…+
f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)
=f'(x0)+
f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)(h→0)，
代入原式得
(x0+h)-f(x0)=hf'(x0)+
f(n)(x0)θn-1hn+o(hn) ①
再将f(x0+h)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式
f(x0+h)-f(x0)=f'(x0)h+…+
f(n)(x0)hb+o(hn)
=f'(x0)h+
f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)， ②
将②代入①后两边除以hn得
令h→0，得
f'(x0+θh)=f'(x0)+f''(x0)θh+
f(3)(x0)(θh)2+…+f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)=f'(x0)+
f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)(h→0)，代入原式得
(x0+h)-f(x0)=hf'(x0)+
f(n)(x0)θn-1hn+o(hn) ①再将f(x0+h)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式
f(x0+h)-f(x0)=f'(x0)h+…+
f(n)(x0)hb+o(hn)=f'(x0)h+
f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)， ②将②代入①后两边除以hn得
令h→0，得
【答案解析】