求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶勒公式：
(Ⅰ)f(x)=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由f(x)=
，可得对m=1，2，3，…有 f
(m)
(x)=2(－1)
(m)
m!
f
(m)
(0)=2(－1)
m
m!． 故 f(x)=1－2x+2x
2
－…+2(－1)
n
x
n
+2(－1)
n+1
． (Ⅱ)用归纳法求出f
(n)
(x)的统一公式． f′(x)=e
x
(sinx+cosx)=
， f″(x)=
， 可归纳证明 f
(n)
(x)=
，n=1，2，…， 因此
，可得对m=1，2，3，…有 f
(m)
(x)=2(－1)
(m)
m!
f
(m)
(0)=2(－1)
m
m!． 故 f(x)=1－2x+2x
2
－…+2(－1)
n
x
n
+2(－1)
n+1
． (Ⅱ)用归纳法求出f
(n)
(x)的统一公式． f′(x)=e
x
(sinx+cosx)=
， f″(x)=
， 可归纳证明 f
(n)
(x)=
，n=1，2，…， 因此
【答案解析】解析：通过求f(0)，f′(0)，…，f
(n)
(0)及f
(n+1)
(x)而得．