设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
问答题
证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
；
【正确答案】正确答案：f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
【答案解析】
问答题
若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
【正确答案】正确答案：设A=2αα
T
+ββ
T
，由于｜α｜=1，α
T
β=β
T
α=0，则 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α =2α｜α｜
2
+ββ
T
α=2α， 所以α为矩阵对应特征值λ
i
=2的特征向量； Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β =2αα
T
β+β｜β｜
2
=β， 所以β为矩阵对应特征值λ
2
=1的特征向量。 而矩阵A的秩 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=2， 所以λ
3
=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
【答案解析】