问答题
求下列不定积分：
问答题
【正确答案】对于∫sinnmxcosnxdx，或m，n至少有一个奇数(不管是正奇数还是负奇数)可采用“凑微分”解决．
[*]
[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】对于∫sinmxcosnxdx，若m，n都是小于零的偶数，一般设法化成∫R(tankx)dtankx或∫R(cotkx)dcotkx形式求解；若m，n都是大于零的偶数，可先利用倍角公式降幂，再积分．
[*]
[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】由于被积函数的分子、分母为sinx，cosx的线性组合，故可用“待定系数法”计算．
令12sinx+cosx=A(5sinx-2cosx)+B(5sinx-2cosx)'，则
[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】由[*]，比较等式两端分子尉类项的系数，得
[*]
于是[*]
【答案解析】[分析] 求三角有理函数不定积分的一般方法：利用万能代换“[*]”化为有理函数，此方法很麻烦．当被积函数为[*]且a≠±b需选用万能代换外，一般应尽量选择其他方法去做题．
问答题
已知函数f(x)在x=0的某个邻域内有连续导数，且
【正确答案】[分析与解法一] 未给出函数f(x)的表达式是本题难点，为克服这个困难，可利用极限与无穷小量的关系来给出f(x)的表达式，即设
[*]
[*]
故f(0)=-1，f'(0)=2．
[分析与解法二] 利用连续与可导的定义以及极限的四则运算法则等求解本题．由于
[*]
由f(x)的连续性即得f(0)=-1。进而
[*]
故f(0)=-1，f'(0)=2．
[分析与解法三] 题巾函数f(x)是未知的，要通过所给条件确定f(0)及f'(0)，因此利用f(x)在x=0处的一阶泰勒展开式就比较自然了．
在x=0的某个小邻域内，f(x)和sinx的一阶泰勒展开式为
f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)，sinx=x+o(x2)，
将其代入[*]
这表明当x→0时[1+f(0)]应是X的1阶无穷小，所以有
1+f(0)=0，f'(0)=2，即f(0)=-1，f'(0)=2．
[*]
[*]
故f(0)=-1，f'(0)=2．
[分析与解法二] 利用连续与可导的定义以及极限的四则运算法则等求解本题．由于
[*]
由f(x)的连续性即得f(0)=-1。进而
[*]
故f(0)=-1，f'(0)=2．
[分析与解法三] 题巾函数f(x)是未知的，要通过所给条件确定f(0)及f'(0)，因此利用f(x)在x=0处的一阶泰勒展开式就比较自然了．
在x=0的某个小邻域内，f(x)和sinx的一阶泰勒展开式为
f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)，sinx=x+o(x2)，
将其代入[*]
这表明当x→0时[1+f(0)]应是X的1阶无穷小，所以有
1+f(0)=0，f'(0)=2，即f(0)=-1，f'(0)=2．
【答案解析】[评注] 在解题时如果一开始就用洛必达法则：
[*]
似乎也可得到f(0)=-1，但这样做是错误的．其原因是对洛必达法则的条件理解不透，即我们并不知道[*]
问答题
证明函数f(x)=xe2x-2x-cos x有且仅有两个实零点，且一正一负．
【正确答案】本题考查导数应用，讨论函数的形态并进一步研究函数的零点问题．
①先证明有两个实零点且一正一负．
由f(x)连续，且[*]在(-1，0)与(0，1)内各至少有一个实零点，即f(x)至少有两个实零点，且一正一负．
②再证明仅有．
f'(x)=(2x+1)e2x-2+sinx，f"(x)=4(x+1)e2x+cos x，
显然(a)当x＜-1时，f'(x)＜0[*]f(x)单调递减[*]f(x)＞f(-1)＞0[*](-∞，-1]上无实零点；
(b)当x＞-1时，f"(x)＞0[*]f"(x)在(-1，+∞)内无实零点，由罗尔定理的逆否命题[*]f'(x)在(-1，+∞)内最多只有一个实零点[*]f(x)在(-1，+∞)内最多只有两个实零点．
①先证明有两个实零点且一正一负．
由f(x)连续，且[*]在(-1，0)与(0，1)内各至少有一个实零点，即f(x)至少有两个实零点，且一正一负．
②再证明仅有．
f'(x)=(2x+1)e2x-2+sinx，f"(x)=4(x+1)e2x+cos x，
显然(a)当x＜-1时，f'(x)＜0[*]f(x)单调递减[*]f(x)＞f(-1)＞0[*](-∞，-1]上无实零点；
(b)当x＞-1时，f"(x)＞0[*]f"(x)在(-1，+∞)内无实零点，由罗尔定理的逆否命题[*]f'(x)在(-1，+∞)内最多只有一个实零点[*]f(x)在(-1，+∞)内最多只有两个实零点．
【答案解析】
问答题
设
，∑为几何体Ω的外侧边界，计算曲面积分
，∑为几何体Ω的外侧边界，计算曲面积分
【正确答案】[*]
[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
设
【正确答案】(Ⅰ)因为方程组Ax=b有2个不同的解，故r(A)=r(A)＜3．
[*]
(Ⅱ)当λ=-1，a=-2时
[*]
所以方程组Ax=b的通解为
[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
设Y1，Y2，Y3独立，且都服从参数数为p的0-1分布．令
【正确答案】[详解] 令Y=Y1+Y2+Y3，则Y～B(3，P)．
(1)P{X1=-1，X2=-1}=P{Y≠1，Y≠2}=P{Y=0}+P{Y=3}
=(1-p)3+p3，
P{X1=-1，X2=1}=P{Y≠1，Y=2}=P{Y=2}=3p2(1-p)，
P{X1=1，X2=-1}=P{Y=1，Y≠2}=P{Y=1}=3p(1-p)2，
P{X1=1，X2=1}=P{Y=1，Y=2}=0．
所以，(X1，X2)的联合分布律为[*]
(2)E(X1X2)=(1-p)3+p3-3p2(1-p)-3p(1-p)2=1-6p+6p2，
所以，当[*]时，E(X1X2)取最小值[*]．
(1)P{X1=-1，X2=-1}=P{Y≠1，Y≠2}=P{Y=0}+P{Y=3}
=(1-p)3+p3，
P{X1=-1，X2=1}=P{Y≠1，Y=2}=P{Y=2}=3p2(1-p)，
P{X1=1，X2=-1}=P{Y=1，Y≠2}=P{Y=1}=3p(1-p)2，
P{X1=1，X2=1}=P{Y=1，Y=2}=0．
所以，(X1，X2)的联合分布律为[*]
(2)E(X1X2)=(1-p)3+p3-3p2(1-p)-3p(1-p)2=1-6p+6p2，
所以，当[*]时，E(X1X2)取最小值[*]．
【答案解析】[分析] 如令Y=Y1+Y2+Y3，则由已知Y～B(3，p)．求有关(X1，X2)的概率问题转化为与随机变量Y有关的概率．
[评注] 本题属于由已知分布的随机变量定义新的随机变量，讨论新随机变量的分布问题．
[评注] 本题属于由已知分布的随机变量定义新的随机变量，讨论新随机变量的分布问题．