解答题
21.设f(x)为连续函数，
(1)证明：∫0πxf(sinx)dx=
∫0πf(sinx)dx=
f(sinx)dx；
(2)证明：∫02πf(｜sinx｜)dx=
f(sinx)dx；
(3)求∫0π
(1)证明：∫0πxf(sinx)dx=
∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx；(2)证明：∫02πf(｜sinx｜)dx=
f(sinx)dx；(3)求∫0π
【正确答案】(1)令I=∫0πxf(sinx)dx，则
I=∫0πxf(sinx)dx
∫π0(π-t)f(sint)(-dt)=∫0π(π-t)f(sint)dt
=∫0π(π-x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-I，
则I=∫0πxf(sinx)dx=
∫0πf(sinx)dx=
f(sinx)dx．
(2)∫02πf(｜sinx｜)dx=∫-ππf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(｜sinx｜)dx
=2∫0πf(sinx)dx=
f(sinx)dx．
(3)
I=∫0πxf(sinx)dx
∫π0(π-t)f(sint)(-dt)=∫0π(π-t)f(sint)dt=∫0π(π-x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-I，
则I=∫0πxf(sinx)dx=
∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx．(2)∫02πf(｜sinx｜)dx=∫-ππf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(｜sinx｜)dx
=2∫0πf(sinx)dx=
f(sinx)dx．(3)
【答案解析】