【正确答案】 A

【答案解析】由周期函数的平移性质，F(x)=∫_x^x+2πe^sintsintdt=∫_-π^πe^sintsintdt，再由对称区间积分性质得F(x)=∫₀^π(e^sintsint—e^-sintsint)dt=∫₀^π(e^sint一e^-sint)sintdt，
又(e^sint一e^-sint)sint连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选A．