解答题
8.设α=[α1，α2，…，αn]T≠0，A=αT，求可逆阵P，使P-1AP=A．
【正确答案】(1)先求A的特征值．
利用特征值的定义．
设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则
Aξ=ααTξ=λξ．
若αTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0；
若αTξ≠0，①式两端左乘αT，
αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)．
因αTξ≠0，故λ=αTα=
(2)再求A的对应于λ的特征向量．当λ=0时，
(3)由ξ1，ξ2，…，ξn，得可逆阵P．
利用特征值的定义．
设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则
Aξ=ααTξ=λξ．
若αTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0；
若αTξ≠0，①式两端左乘αT，
αTααTξ=(αTα)αTξ=λ(αTξ)．
因αTξ≠0，故λ=αTα=
(2)再求A的对应于λ的特征向量．当λ=0时，
(3)由ξ1，ξ2，…，ξn，得可逆阵P．
【答案解析】