【正确答案】正确答案：（Ⅰ）F（x）=∫ _—a ^a |x一t|f（t）dt=∫ _—a ^x （x一t）f（t）dt+∫ _x ^a （t一x）f（t）dt =x∫ _—a ^x f（t）dt一∫ _—a ^x tf（t）dt+∫ _x ^a tf（t）dt — x∫ _x ^a f（t）dt =x∫ _—a ^x f（x）dt一∫ _—a ^x tf（t）dt —∫ _a ^x tf（t）dt+x∫ _a ^x f（t）dt， F'（x）=f（t）dt+xf（x）一xf（x）一xf（x）+ ∫ _a ^x f（t）dt+xf（x）=∫ _—a ^x f（t）dt一∫ _x ^a f（t）dt。 所以F"（x）=2f（x）＞0，因此F"（x）为单调增加的函数。 （Ⅱ）因为F'（0）=∫ _—a ⁰ f（x）dx一∫ ₀ ^a f（x）dx，且f（x）为偶函数，所以F'（0）=0，又因为F"（0）＞ 0，所以x=0为F（x）的唯一极小值点，也为最小值点，且最小值为 F（0）=∫ _—a ^a |t|（t）dt=2∫ ₀ ^a tf（t）dt。 （Ⅲ）由2∫ ₀ ^a tf（t）dt= f（a）一a ² —1，两边求导得 2af（a）=f'（a）一2a， 于是 f'（x）—2xf（x）=2x， 解得 f（x）=[∫2xe ^—∫2xdx dx+C]e ^—∫2xdx =Cex ² —1。 在2∫ ₀ ^a tf（t）dt=f（a）一a ² —1中令a=0得f（0）=1，则C=2，于是 f（x）= 2ex ² —1。