计算题
12.设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"'(ξ)=3。
【正确答案】由f(x)有三阶导数，故应该考虑泰勒公式，
又注意到f’(0)=0，应在x=0处展开：
当x=1时，1=f(1)=f(0)+
当x=一1时，0=f(一1)=f(0)+
则两式相加可得：f"'(η1)+f"'(η2)=6
由f"'(x)的连续性，f"'(η1)+f"'(η2)=6在闭区间[η1，η2]上有最大值M和最小值m，
则有介值定理可得：m≤
又注意到f’(0)=0，应在x=0处展开：
当x=1时，1=f(1)=f(0)+
当x=一1时，0=f(一1)=f(0)+
则两式相加可得：f"'(η1)+f"'(η2)=6
由f"'(x)的连续性，f"'(η1)+f"'(η2)=6在闭区间[η1，η2]上有最大值M和最小值m，
则有介值定理可得：m≤
【答案解析】