问答题
已知二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)=4x
2
2
-3x
3
2
+4x
1
x
2
-4x
1
x
3
+8x
2
x
3
．
(1)写出二次型f的矩阵表达式；
(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．
【正确答案】正确答案：(1)二次型的矩阵
，则二次型f的矩阵表达式f=x
T
Ax． (2)A的特征多项式|λE一A|=(6+λ)(1一λ)(6一λ)，则A的特征值λ
1
=一6，λ
2
=1，λ
3
=6． λ
1
=一6对应的正交单位化特征向量
λ
2
=1对应的正交单位化特征向量
λ
3
=6对应的正交单位化特征向量
令正交矩阵 P=[p
1
，p
2
，p
3
]=
所求正交变换为
，则二次型f的矩阵表达式f=x
T
Ax． (2)A的特征多项式|λE一A|=(6+λ)(1一λ)(6一λ)，则A的特征值λ
1
=一6，λ
2
=1，λ
3
=6． λ
1
=一6对应的正交单位化特征向量
λ
2
=1对应的正交单位化特征向量
λ
3
=6对应的正交单位化特征向量
令正交矩阵 P=[p
1
，p
2
，p
3
]=
所求正交变换为
【答案解析】