设γ 1 ，γ 2 ，…，γ t 和η 1 ，η 2 ，…η s 分别是AX=0和BX=0基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ 1 ，γ 2 ，…，γ t ，η 1 ，η 2 ，…η s 线性相关．
【正确答案】正确答案：必要性． 由γ 1 ，γ 2 ，…，γ t ，η 1 ，η 2 ，…，η s 线性相关，知存在k 1 ，k 2 ，…，k t ，l 1 ，l 2 ，…，l s 不全为零，使得k 1 γ 1 +k 2 γ 2 +…+k t γ t +l 1 η 1 +l 2 η 2 +…+l s η s =0． 令ξ=k 1 γ 1 +k 2 γ 2 +…+k t γ t ，则ξ≠0(否则k 1 ，k 2 ，…，k t ，l 1 ，l 2 ，…，l s 全为0)，且ξ=-l 1 η 1 -l 2 η 2 -…-l s η s ，即非零向量ξ既可由γ 1 ，γ 2 ，…，γ t 表示，也可由η 1 ，η 2 ，…，η s 表示，所以Ax=0和Bx=0有非零公共解． 充分性． 若Ax=0和Bx=0有非零公共解，假设为ξ≠0，则ξ=k 1 γ 1 +k 2 γ 2 +…+k t γ t 且ξ=-l 1 η 1 -l 2 η 2 -…-l s η s ，于是，存在k 1 ，k 2 ，…，k t 不全为零，存在l 1 ，l 2 ，…，l s 不全为零，使得 k 1 γ 1 +k 2 γ 2 +…+k t γ t +l 1 η 1 +l 2 η 2 +…+l s η s =0， 从而γ 1 ，γ 2 ，…，γ t ，η 1 ，η 2 ，…，η s 线性相关．
【答案解析】