设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B
T
为B的转置矩阵，试证：B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)＝n．
【正确答案】正确答案：必要性：设B
T
AB为正定矩阵，则由定义知，对任意的n维实列向量χ≠0，有χ
T
(B
T
AB)χ＞0，即(Bχ)
T
A(Bχ)＞0． 于是，Bχ≠0．因此，Bχ＝0只有零解，故有r(B)＝n． 充分性：因(B
T
AB)
T
＝B
T
A
T
(B
T
)
T
＝B
T
AB，故B
T
AB为实对称矩阵． 若r(B)＝n，则线性方程组Bχ＝0只有零解，从而对任意的n维实列向量χ≠0，有Bχ≠0． 又A为正定矩阵，所以对于Bχ≠0，有(Bχ)
T
A(Bχ)＞0． 于是当χ≠0，有χ
T
(B
T
AB)χ＝(Bχ)
T
A(Bχ)＞0，故B
T
AB为正定矩阵．