解答题
18.[2010年] 设
存在正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为
存在正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为
【正确答案】因Q的第1列为
故A的特征值λ1所对应的特征向量为
[1，2，1]T，于是有
由此可求得a=－1，λ1=2．下面求A的特征值．
由
可得到
故A的特征值为λ1=2，λ2=－4，λ3=5．已求得属于λ1=2的特征向量为α1=[1，2，1]T．易求得A的属于特征值λ2=－4的特征向量为α2=[－1，0，1]T，属于λ3=5的特征向量为α3=[1，－1，1]T．由于A为实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量正交，只需单位化：
故A的特征值λ1所对应的特征向量为[1，2，1]T，于是有由此可求得a=－1，λ1=2．下面求A的特征值．
由
可得到故A的特征值为λ1=2，λ2=－4，λ3=5．已求得属于λ1=2的特征向量为α1=[1，2，1]T．易求得A的属于特征值λ2=－4的特征向量为α2=[－1，0，1]T，属于λ3=5的特征向量为α3=[1，－1，1]T．由于A为实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量正交，只需单位化：
【答案解析】