设函数f(x)在[a，+∞)上连续，f""(x)在(a，+∞)内存在且大于零．记F(x)=
【正确答案】正确答案：(1)证明F"(x)＞0(x＞a)．由题设条件，有
由拉格朗日中值定理知，存在ξ(a＜ξ＜x)使得
由f""(x)＞0，可知f"(x)在(a，+∞)内单调增加．因此，对于任何满足a＜ξ＜x的x和ξ，有f"(x)＞f"(ξ)．又x-a＞0，从而由②可知F"(x)＞0，于是F(x)是单调增加的． (2)由①式有
，其中 φ(x)=f"(x)(x-a)-f(x)+f(a)(x＞a)，φ(a)=0． 由φ""(x)=f""(x)(x-a)＞0，可知φ(x)在(a，+∞)上单调上升，从而当x＞a时，φ(x)＞φ(a)=0，于是F"(x)=
由拉格朗日中值定理知，存在ξ(a＜ξ＜x)使得由f""(x)＞0，可知f"(x)在(a，+∞)内单调增加．因此，对于任何满足a＜ξ＜x的x和ξ，有f"(x)＞f"(ξ)．又x-a＞0，从而由②可知F"(x)＞0，于是F(x)是单调增加的． (2)由①式有，其中 φ(x)=f"(x)(x-a)-f(x)+f(a)(x＞a)，φ(a)=0． 由φ""(x)=f""(x)(x-a)＞0，可知φ(x)在(a，+∞)上单调上升，从而当x＞a时，φ(x)＞φ(a)=0，于是F"(x)=【答案解析】解析：要证F(x)在(a，+∞)内单调增加，只需证F"(x)＞0，为此需先求出F"(x)．条件“f”(x)在(a，+∞)内存在且大于零”隐含着f"(x)在(a，+∞)上单调上升，因此要充分利用这一信息来证明F"(x)＞0．