解答题
14.设f(χ)在区间[a，b]上二阶可导且f〞(χ)≥0．证明：(b－a)f(
)≤∫abf(χ)dχ≤
)≤∫abf(χ)dχ≤
【正确答案】由泰勒公式得f(χ)＝
其中ξ介于χ与
之间，
因为f〞(χ)≥0，所以有
两边积分得∫abf(χ)dχ≥(b－a)
令φ(χ)＝
[f(χ)＋f(a)]－∫aχf(t)dt，且φ(a)＝0，
其中a≤η≤χ，
因为f〞(χ)≥0，所以f′(χ)单调不减，于是φ′(χ)≥0(a≤χ≤b)，
其中ξ介于χ与
之间，因为f〞(χ)≥0，所以有
两边积分得∫abf(χ)dχ≥(b－a)
令φ(χ)＝
[f(χ)＋f(a)]－∫aχf(t)dt，且φ(a)＝0，其中a≤η≤χ，
因为f〞(χ)≥0，所以f′(χ)单调不减，于是φ′(χ)≥0(a≤χ≤b)，
【答案解析】