设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量．求证；f(x)的导函数f'(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．
【正确答案】正确答案：由题设f(x)在x=a处n阶可导且
=A≠0知，把f(x)在x=a的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式代入即得
从而 f(a)=f'(a)=f"(a)=…=f
(n—1)
(a)=0，f
(n)
(a)=n!A≠0． 设g(x)=f'(x)，由题设知g(x)在x=a处n一1阶可导，且 g(a)=f'(a)=0，g'(a)=f"(a)=0，…，g
(n—2)
(a)=f
(n—1)
(a)=0， g
(n—1)
(a)=f
(n)
(a)=n!A≠0． 由此可得f'(x)=g(x)在x=a处带皮亚诺余项的n一1阶泰勒公式为 f'(x)=g(x)=g(a)+g'(a)(x一a)+…+
(x一a)
n—2
+
(x—a)
n—1
+ο(x一a)
n—1
=
=A≠0知，把f(x)在x=a的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式代入即得
从而 f(a)=f'(a)=f"(a)=…=f
(n—1)
(a)=0，f
(n)
(a)=n!A≠0． 设g(x)=f'(x)，由题设知g(x)在x=a处n一1阶可导，且 g(a)=f'(a)=0，g'(a)=f"(a)=0，…，g
(n—2)
(a)=f
(n—1)
(a)=0， g
(n—1)
(a)=f
(n)
(a)=n!A≠0． 由此可得f'(x)=g(x)在x=a处带皮亚诺余项的n一1阶泰勒公式为 f'(x)=g(x)=g(a)+g'(a)(x一a)+…+
(x一a)
n—2
+
(x—a)
n—1
+ο(x一a)
n—1
=
【答案解析】