填空题
设α，β均是n维非零列向量，矩阵A=2E-αβ
T
，其中E是n阶单位矩阵，若A
2
=A+2E，则α
T
β= 1．
【正确答案】
【答案解析】3
[解析] 由A=2E-αβ
T
，又A
2
=A+2E，于是
(2E-αβ T ) 2 =2E-αβ T +2E，
(2E-αβ T )(2E-αβ T )=4E-αβ T ，
4E-2αβ T -2αβ T +αβ T αβ T =4E-αβ T ，
αβ T αβ T =3αβ T ，
β T α·αβ T =3αβ T ，
(β T α-3)αβ T =0，而α，β为非零列向量，
αβ T ≠0，∴
又
(2E-αβ T ) 2 =2E-αβ T +2E，
(2E-αβ T )(2E-αβ T )=4E-αβ T ，
4E-2αβ T -2αβ T +αβ T αβ T =4E-αβ T ，
αβ T αβ T =3αβ T ，
β T α·αβ T =3αβ T ，
(β T α-3)αβ T =0，而α，β为非零列向量，
αβ T ≠0，∴
又