①设α 1 ,α 2 ,…,α s 和β 12 ,…,α t 都是n维列向量组,记矩阵 A=(α 1 ,α 2 ,…,α s ),B=(β 1 ,β 2 ,…,β t ) 证明:存在矩阵C,使得AC=B的充分必要条件是r(α 1 ,α 2 ,…,α s ;β 1 ,β 2 ,…,β t )=r(α ,α 2 ,…,α s ).
【正确答案】正确答案:①根据向量组秩的性质, r(α 1 ,α 2 ,…,α s ;β 1 ,β 2 ,…,β t )=r(α 12 ,…,α s ) β 1 ,β 2 ,…,β t 可以用α 1 ,α 2 ,…,α s 线性表示. 如果矩阵C使得AC=B,记C的(i,j)位元素为c ij ,则 β j =c 1j α 1 +c 2j α 2 +…+c sj α s ,j=1,2,…,s. 从而β 1 ,β 2 ,…,β t 可以用α 1 ,α 2 ,…,α s 线性表示. 反之,如果β 1 ,β 2 ,…,β t 可以用α 1 ,α 2 ,…,α s 线性表示,设 β j =c 1j α 1 +c 2j α 2 +…+c sj α s ,j=1,2,…,s. 记C的(i,j)位元素为c ij 的s×t的矩阵,则由矩阵乘法的定义,AC=B.
【答案解析】