问答题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax满足a
11
+a
22
+a
33
=2，AB=0，其中
问答题
用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换；
【正确答案】
【答案解析】[解] 由题设条件
B的三个列向量均为Ax=0的解向量．
也是A的对应于特征值λ=0的特征向量，由于|B|=0，故B中的三个列向量线性相关，取
α
1
，α
2
线性无关，且已正交．
又 λ 1 +λ 2 +λ 3 =a 11 +a 22 +a 33 =2，
∴λ 1 =λ 2 =0 λ 3 =2． (单，重，重)
因A为实对称矩阵，所以对应于λ 3 =2的特征向量
与α
1
，α
2
正交，即有
[α 1 ，α 3 ]=x 1 +x 2 +x 3 =0，
[α 2 ，α 3 ]=-x 1 +x 2 =0，
解得
再把α
1
，α
2
，α
3
单位化，得
B的三个列向量均为Ax=0的解向量．
也是A的对应于特征值λ=0的特征向量，由于|B|=0，故B中的三个列向量线性相关，取
α
1
，α
2
线性无关，且已正交．
又 λ 1 +λ 2 +λ 3 =a 11 +a 22 +a 33 =2，
∴λ 1 =λ 2 =0 λ 3 =2． (单，重，重)
因A为实对称矩阵，所以对应于λ 3 =2的特征向量
与α
1
，α
2
正交，即有
[α 1 ，α 3 ]=x 1 +x 2 +x 3 =0，
[α 2 ，α 3 ]=-x 1 +x 2 =0，
解得
再把α
1
，α
2
，α
3
单位化，得
问答题
求该二次型
【正确答案】
【答案解析】∵
故所求二次型为
故所求二次型为
问答题
f(x
1
，x
2
，x
3
)=1代表什么曲面．
【正确答案】
【答案解析】由标准化
∴
∴