问答题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX在正交变换X=QY下的标准形为
且Q的第三列为
且Q的第三列为
问答题
求矩阵A;
【正确答案】
【答案解析】二次型X
T
AX在正交变换下的标准形为
则二次型矩阵A的特征值为-1，-1，0．又因为Q的第三列是
说明α
3
=(1，1，0)
T
是矩阵A关于特征值λ=0的特征向量．因为A是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，设A关于λ
1
=λ
2
=-1的特征向量为α=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，则α
T
α
3
=0，即x
1
+x
2
=0．
取α 1 =(0，0，1) T ，α 2 =(-1，1，0) T 为特征值λ 1 =λ 2 =-1的特征向量．
由A(α 1 ，α 2 ，α 3 )=(-α 1 ，-α 2 ，0)，得
则二次型矩阵A的特征值为-1，-1，0．又因为Q的第三列是
说明α
3
=(1，1，0)
T
是矩阵A关于特征值λ=0的特征向量．因为A是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，设A关于λ
1
=λ
2
=-1的特征向量为α=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，则α
T
α
3
=0，即x
1
+x
2
=0．
取α 1 =(0，0，1) T ，α 2 =(-1，1，0) T 为特征值λ 1 =λ 2 =-1的特征向量．
由A(α 1 ，α 2 ，α 3 )=(-α 1 ，-α 2 ，0)，得
问答题
证明：A-E为负定矩阵，其中E为3阶单位矩阵，
【正确答案】
【答案解析】由于矩阵A的特征值为-1，-1，0，那么A-E的特征值为-2，-2，-1，因为A-E的特征值全部小于0，所以A-E负定．