【答案解析】[证]作辅助函数f(x)=ax ⁴ +bx ³ +cx ² -(a+b+c)x，显然f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，f(1)=0，则f(x)在[0，1]上满足罗尔定理，所以至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0，即方程4ax ³ +3bx ² +2cx=a+b+c在(0，1)内至少有一个实根． [解析] 由原方程可推出4ax ³ +3bx ² +2cx-(a+b+c)=0．令
f(x)=4ax ³ +3bx ² +2cx-(a+b+c)，
f(0)=-(a+b+c)，f(1)=3a+2b+c．
显然零值定理不易验证．
改令f"(x)=4ax ³ +3bx ² +2cx-(a+b+c)，则
f(x)=ax ⁴ +bx ³ +cx ² -(a+b+c)x．