设A是3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量，且
Aα
1
＝α
1
－α
2
＋3α
3
，Aα
2
＝4α
1
－3α
2
＋5α
3
，Aα
3
＝0．
求矩阵A的特征值和特征向量．
【正确答案】正确答案：由Aα
3
＝0＝0α
3
，知λ＝0是A的特征值，α
3
是λ＝0的特征向量． 由已知条件有 A(α
1
，α
2
，α
3
)＝(α
1
－α
2
＋3α
3
，4α
1
－3α
2
＋5α
3
，0)， ＝(α
1
，α
2
，α
3
)
记P＝(α
1
，α
2
，α
3
)，由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，则矩阵P可逆，故P
-1
AP＝B，其中B＝
，因此A～B． 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式 ｜λE－B｜＝
＝λ(λ＋1)
2
， 所以矩阵B，也即A的特征值为－1，－1，0． 对于矩阵B，
所以矩阵B对应于特征值λ＝－1的特征向量是β＝(－2，1，1)
T
，若Bβ＝λβ，则有(P
-1
AP)β＝λβ，即A(PB)＝λ(Pβ)，那么矩阵A关于特征值λ＝－1的特征向量是 Pβ＝(α
1
，α
2
，α
3
)
记P＝(α
1
，α
2
，α
3
)，由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，则矩阵P可逆，故P
-1
AP＝B，其中B＝
，因此A～B． 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式 ｜λE－B｜＝
＝λ(λ＋1)
2
， 所以矩阵B，也即A的特征值为－1，－1，0． 对于矩阵B，
所以矩阵B对应于特征值λ＝－1的特征向量是β＝(－2，1，1)
T
，若Bβ＝λβ，则有(P
-1
AP)β＝λβ，即A(PB)＝λ(Pβ)，那么矩阵A关于特征值λ＝－1的特征向量是 Pβ＝(α
1
，α
2
，α
3
)
【答案解析】