求一个以y
1
=te
t
，y
2
=sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．
【正确答案】正确答案：由y
1
=te可知y
3
=e
t
亦为其解，由y
2
=sin2t可得y
4
=cos2t也是其解，故所求方程对应的特征方程的根λ
1
=λ
3
=1，λ
2
=2i，λ
4
=一2i．其特征方程为 (λ一1)
2
(λ
2
+4)=0，即λ
4
—2λ
3
+5λ
2
—8λ+4=0．故所求微分方程为y
(4)
一2y"""+5y""一8y"+4y=0，其通解为y=(C
1
+C
2
t)e
t
+C
3
cos2t+C
4
sin 2t，其中C
1
，C
2
，C
3
，C
4
为任意常数．
【答案解析】