求函数f(x，y)=x
2
+2y
2
－x
2
y
2
在区域D={(x，y)｜x
2
+y
2
≤4，y≥0)上的最大值与最小值．
【正确答案】正确答案：先求f(x，y)在D的内部的驻点．由 fˊ
x
(x，y)=2x－2xy
2
=0，fˊ
y
(x，y)=4y－2x
2
y=0， 解得x=0或y=±1；x=±
或y=0．经配对之后，位于区域D内部的点为M
1
(
，1)，M
2
(
，1)． 经计算， f(
，1)=2，f(
，1)=2． 再考虑D的边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x
2
，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0．又在x
2
+y
2
=4上，
=x
2
+2(4－x
2
)－x
2
(4－x
2
)=x
4
－5x
2
+8
g(x)(－2＜x＜2)． 令 gˊ(x)=4x
3
－10x=0， 得x=0或x=±
．有g(0)=8，
，比较以上所获得的那些函数值的大小，有
｛f(x，y)｝=f(0，2)=8，
或y=0．经配对之后，位于区域D内部的点为M
1
(
，1)，M
2
(
，1)． 经计算， f(
，1)=2，f(
，1)=2． 再考虑D的边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x
2
，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0．又在x
2
+y
2
=4上，
=x
2
+2(4－x
2
)－x
2
(4－x
2
)=x
4
－5x
2
+8
g(x)(－2＜x＜2)． 令 gˊ(x)=4x
3
－10x=0， 得x=0或x=±
．有g(0)=8，
，比较以上所获得的那些函数值的大小，有
｛f(x，y)｝=f(0，2)=8，
【答案解析】