问答题
傅里叶变换描述信号f(t)在t∈(-∞，∞)的全频谱特征。为了研究在
区间上的频谱组成，定义短时傅里叶变换(STFT)，F(τ，ω)=
f(t)g(t-τ)e-jωtdt，其中g(t)表示窗函数g(t)=0，
，其中T为常数。己知有窗函数
和g2(t)=
区间上的频谱组成，定义短时傅里叶变换(STFT)，F(τ，ω)=f(t)g(t-τ)e-jωtdt，其中g(t)表示窗函数g(t)=0，，其中T为常数。己知有窗函数和g2(t)=
【正确答案】解：先证明STFT的一个性质：
[*]
式中，[*]=g(t-τ)ejωt。取傅里叶变换，得：
Gτ,ω(v)=[*]g(t-τ)ejωte-jvtdt=e-j(v-ω)t[*]g(t')e-j(v-ω)tdt'=G(v-ω)e-j(v-ω)t
由内积不变性得：[*]
所以：F(τ,ω)=e-jωt[*]F(v)G*(v-ω)ejvtdv
上式指出，对f(t)在时域加窗g(t-τ)，那么相应地在频域对F(v)加窗G(v-ω)。
对于窗函数[*]，由常用傅里叶变换可知：[*]
对于窗函数[*]，由常用傅里叶变换可知：
[*]
G1(v)和G2(v)的波形如下图所示。
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从图中可以看出，在频域上加[*]窗后，相当于只保留所取的单个频率分量幅值；而加[*]窗后，相当于保留连续三个频点的幅值。
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式中，[*]=g(t-τ)ejωt。取傅里叶变换，得：
Gτ,ω(v)=[*]g(t-τ)ejωte-jvtdt=e-j(v-ω)t[*]g(t')e-j(v-ω)tdt'=G(v-ω)e-j(v-ω)t
由内积不变性得：[*]
所以：F(τ,ω)=e-jωt[*]F(v)G*(v-ω)ejvtdv
上式指出，对f(t)在时域加窗g(t-τ)，那么相应地在频域对F(v)加窗G(v-ω)。
对于窗函数[*]，由常用傅里叶变换可知：[*]
对于窗函数[*]，由常用傅里叶变换可知：
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G1(v)和G2(v)的波形如下图所示。
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从图中可以看出，在频域上加[*]窗后，相当于只保留所取的单个频率分量幅值；而加[*]窗后，相当于保留连续三个频点的幅值。
【答案解析】