解答题
5.设f(χ)为连续正值函数，χ∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝{(χ，y)}0≤χ≤t，0≤y＜f(χ)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(χ)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与
【正确答案】(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为
∫0tf2(χ)dχ／∫0tf(χ)dχ
而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(χ)dχ．见图6．2．按题意
即∫0tf2(χ)dχ＝2[∫0tf(χ)dχ]2＋∫0tf(χ)dχ(χ≥0)． ①
(Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则
方程①
f2(t)＝4f(t)∫0tf(χ)dχ＋f(t)
f(t)＝4∫f(χ)dχ＋1 ②
(①中令χ＝0，等式自然成立，不必另加条件)．
f(χ)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t＝0得
方程
(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)＝e－∫4dt
∫0tf2(χ)dχ／∫0tf(χ)dχ而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(χ)dχ．见图6．2．按题意
即∫0tf2(χ)dχ＝2[∫0tf(χ)dχ]2＋∫0tf(χ)dχ(χ≥0)． ①
(Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则
方程①
f2(t)＝4f(t)∫0tf(χ)dχ＋f(t)f(t)＝4∫f(χ)dχ＋1 ②(①中令χ＝0，等式自然成立，不必另加条件)．
f(χ)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t＝0得
方程
(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)＝e－∫4dt
【答案解析】