【正确答案】将
∫₀^xtf(x－t)∫_x⁰(x－u)f(u)(－du)=∫₀^x(x－u)f(u)du
=x∫₀^xf(u)du－∫₀^xuf(u)du
代入原方程即得∫₀^xf(t)dt=sin²x+x∫₀^xf(u)du－∫₀^xuf(u)du． ①
由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对x求导即得
f(x)=2sinxcosx+∫₀^xf(u)du=sin2x+∫₀^xf(u)du． ②
(在①中令x=0，得0=0，不必另加条件①与②同解．)
在②式中令x=0可得f(0)=0，由②式还可知f(x)可导，于是将它两端对x求导，又得
f'(x)=2cos2x+f(x)．
故求y=f(x)等价于求解初值问题的特解．解之可得
y=f(x)=