问答题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n阶实矩阵，BT为B的转置矩阵!试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n
【正确答案】[证] 必要性．设BTAB是正定矩阵，按正定定义
恒有XT(BTAB)x＞0即(Bx)TA(Bx)＞0
那么恒有Bx≠0．从而齐次方程组Bx=0只有零解，故秩r(B)=n．
充分性．因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知BTAB为实对称矩阵．
当秩r(B)=n时，Bx=0只有零解，那么恒有Bx≠0．因为A是正定
矩阵，那么当Bx≠0时必有(Bx)TA(Bx)＞0，所以
恒有XT(BTAB)x＞0即(Bx)TA(Bx)＞0那么
恒有Bx≠0．从而齐次方程组Bx=0只有零解，故秩r(B)=n．充分性．因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知BTAB为实对称矩阵．
当秩r(B)=n时，Bx=0只有零解，那么
恒有Bx≠0．因为A是正定矩阵，那么当Bx≠0时必有(Bx)TA(Bx)＞0，所以
【答案解析】