(2002年试题,九)已知4阶方阵A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
均为4维列向量，其中α
2
,α
3
,α
4
线性无关，α
1
=2α
2
一α
3
．如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，求线性方程组Ax=β的通解
【正确答案】正确答案：根据题设α
2
,α
3
,α
4
线性无关且α
1
=2α
2
一α
3
，因此rA=3，同时β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，则方程组Ax=β的增广矩阵B=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
，β)的秩也为3，即rB=3，因此方程组Ax=β有解，由4一rA=1，知Ax=β有无穷多解，且Ax=0的解空间维数等于1，即基础解系中只含一个解向量，又由已知α
1
=2α
2
一α
3
，即α
1
一2α
2
+α
3
=0，可推出
从而
是Ax=0的一个解向量，因此
是Ax=0的基础解系．同时由β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，可推出
是Ax=β的一个特解，从而方程组Ax=β通解为
其中C为任意常数． 解析二令
则由β=Ax=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)
得，x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
将α
1
=2α
2
一α
3
代λ上式得，(2x
1
+x
2
—3)α
2
+(一x
1
+x
3
)α+(x
4
—1)α
4
=0因α
2
,α
3
,α
4
线性无关，故而有
解上述方程组得
从而
是Ax=0的一个解向量，因此
是Ax=0的基础解系．同时由β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，可推出
是Ax=β的一个特解，从而方程组Ax=β通解为
其中C为任意常数． 解析二令
则由β=Ax=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)
得，x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
将α
1
=2α
2
一α
3
代λ上式得，(2x
1
+x
2
—3)α
2
+(一x
1
+x
3
)α+(x
4
—1)α
4
=0因α
2
,α
3
,α
4
线性无关，故而有
解上述方程组得
【答案解析】