设λ
0
为A的特征值．
(1)证明：A
T
与A特征值相等；
(2)求A
2
，A
2
＋2A＋3E的特征值；
(3)若｜A｜≠0，求A
-1
，A
*
，E－A
-1
的特征值．
【正确答案】正确答案：(1)因为｜λE－A
T
｜＝｜(2E－A)
T
｜＝｜λE－A｜，所以AT与A的特征值相等． (2)因为Aα＝λ
0
α(α≠0)， 所以A
2
α＝λ
0
Aα＝λ
0
2
α，(A
2
＋2A＋3E)α＝(λ
0
2
＋2λ
0
＋3)α， 于是A
2
，A
2
＋2A＋3E的特征值分别为λ
0
2
，λ
0
2
＋2λ
0
＋3． (3)因为｜A｜＝λ
1
λ
2
…λ
n
≠0，所以λ
0
＝≠0，由Aα＝λ
0
α得A
-1
α＝
α， 由A
*
Aα＝｜A｜α得A
*
α＝
，又(E－A
-1
)α＝(1－
)α， 于是A
-1
，A
*
，E－A
-1
的特征值分别为
α， 由A
*
Aα＝｜A｜α得A
*
α＝
，又(E－A
-1
)α＝(1－
)α， 于是A
-1
，A
*
，E－A
-1
的特征值分别为
【答案解析】