问答题
设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关，已知β
1
=(k-1)α
1
，α
2
，α
3
，β
2
=α
1
+(k+1)α
2
+α
3
，β
3
=-α
1
-(1+k)α
2
+(1-k)α
3
．试求向量组β
1
，β
2
，β
3
的秩r(β
1
，β
2
，β
3
)．
【正确答案】
【答案解析】解：设有一组数λ
1
，λ
2
，λ
3
，使得λ
1
β
1
+λ
2
β
2
+λ
3
β
3
=0，即
λ 1 [(k-1)α 1 +α 2 +α 3 ]+λ 2 [α 1 +(k+1)α 2 +α 3 ]+λ 3 [-α 1 -(1+k)α 2 +(1-k)α 3 ]=0，
经整理得
[(k-1)λ 1 +λ 2 -λ 3 ]α 1 +[λ 1 +(k+1)λ 2 -(1+k)λ 3 ]α 2 +[λ 1 +λ 2 +(1-k)λ 3 ]α 3 =0．
由于α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，则有线性方程组
其系数行列式
当k≠2且k≠
时，β
1
，β
2
，β
3
线性无关，r(β
1
，β
2
，β
3
)=3．
当k=2时，则有
容易判定，向量组β 1 ，β 2 ，β 3 线性相关，β 1 ，β 2 线性无关．由此可知，r(β 1 ，β 2 ，β 3 )=2．
同样，可以判定向量组β 1 ，β 2 ，β 3 线性相关，β 2 ，β 3 线性无关．从而，r(β 1 ，β 2 ，β 3 )=2．
同理可得，当k=
时，r(β
1
，β
2
，β
3
)=2．
所以，当k≠2且k≠
时，r(β
1
，β
2
，β
3
)=3；当k=2或k=
λ 1 [(k-1)α 1 +α 2 +α 3 ]+λ 2 [α 1 +(k+1)α 2 +α 3 ]+λ 3 [-α 1 -(1+k)α 2 +(1-k)α 3 ]=0，
经整理得
[(k-1)λ 1 +λ 2 -λ 3 ]α 1 +[λ 1 +(k+1)λ 2 -(1+k)λ 3 ]α 2 +[λ 1 +λ 2 +(1-k)λ 3 ]α 3 =0．
由于α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，则有线性方程组
其系数行列式
当k≠2且k≠
时，β
1
，β
2
，β
3
线性无关，r(β
1
，β
2
，β
3
)=3．
当k=2时，则有
容易判定，向量组β 1 ，β 2 ，β 3 线性相关，β 1 ，β 2 线性无关．由此可知，r(β 1 ，β 2 ，β 3 )=2．
同样，可以判定向量组β 1 ，β 2 ，β 3 线性相关，β 2 ，β 3 线性无关．从而，r(β 1 ，β 2 ，β 3 )=2．
同理可得，当k=
时，r(β
1
，β
2
，β
3
)=2．
所以，当k≠2且k≠
时，r(β
1
，β
2
，β
3
)=3；当k=2或k=