填空题
设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0，f'(0)=-1，已知曲线积分∫
L
[xe
2x
-6f(x)]sinydx-[5f(x)-f'(x)]cosydy与路径无关，则f(x)= 1．
- 1、
【正确答案】
1、{{*HTML*}}正确答案：
【答案解析】解析：曲线积分与路径无关
，故有
{[f'(x)-5f(x)]cosy}=
{xe
2x
-6f(x)]siny}， 即[f''(x)-5f'(x)]cosy=[xe
2x
-6f(x)]cosy， 消去cosy，整理得f''-5f'+6f=xe
2x
， 对应齐次方程的特征方程为r
2
-5r+6=(r-2)(r-3)=0， 对应齐次方程的通解为Y=C
1
e
2x
+C
2
e
3x
， 由于λ=2是特征根，故设f=x(Ax+B)e
2x
，代入方程可求出A=
，B=-1，于是方程的通解为 f(x)=C
1
e
2x
+C
2
e
3x
-
x(x+2)e
2x
， 再由f(0)=0及f'(0)=-1，可求出C
1
=C
2
=0， 因而所求函数为f(x)=
x(x+2)e
2x
． 故应填
，故有
{[f'(x)-5f(x)]cosy}=
{xe
2x
-6f(x)]siny}， 即[f''(x)-5f'(x)]cosy=[xe
2x
-6f(x)]cosy， 消去cosy，整理得f''-5f'+6f=xe
2x
， 对应齐次方程的特征方程为r
2
-5r+6=(r-2)(r-3)=0， 对应齐次方程的通解为Y=C
1
e
2x
+C
2
e
3x
， 由于λ=2是特征根，故设f=x(Ax+B)e
2x
，代入方程可求出A=
，B=-1，于是方程的通解为 f(x)=C
1
e
2x
+C
2
e
3x
-
x(x+2)e
2x
， 再由f(0)=0及f'(0)=-1，可求出C
1
=C
2
=0， 因而所求函数为f(x)=
x(x+2)e
2x
． 故应填