问答题
设
二次型经过正交变换X=QY化为标准形
二次型经过正交变换X=QY化为标准形
【正确答案】
【答案解析】[解] 二次型
的矩阵形式为
f=X T AX
其中
，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4.
而|λE-A|=λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2 +2)λ+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2 +2)λ+(-3a-2b+2b 2 +2)=(λ-1) 2 (λ-4)，
解得a=2，b=1.当λ 1 =λ 2 =时，由(E-A)X=0得
由λ
3
=4时，由(4E-A)X=0得
．显然ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
两两正交，单位化为
的矩阵形式为
f=X T AX
其中
，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4.
而|λE-A|=λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2 +2)λ+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2 +2)λ+(-3a-2b+2b 2 +2)=(λ-1) 2 (λ-4)，
解得a=2，b=1.当λ 1 =λ 2 =时，由(E-A)X=0得
由λ
3
=4时，由(4E-A)X=0得
．显然ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
两两正交，单位化为